圆锥曲线的特性及在刀具刃磨中应用
| 圆锥曲线顶点处的曲率半径r等于截平面P到锥顶距离L与圆锥半角α的正切函数的积(r=Ltanα)，而与截平面与圆锥曲线的夹角及曲线形状无关。利用该特性可简化刃磨刀具前刀面等内圆锥面时的干涉验算。 |
由几何原理可知，用不过锥顶的平面P 截圆锥面时，当平面P 与锥轴的夹角θ与圆锥半角α的比值分别<1、=1、>1时，其截线分别为双曲线、抛物线和椭圆(统称为圆锥曲线)。利用圆锥曲线顶点处的曲率特性，可大大简化刃磨插齿刀前刀面等内圆锥面时的干涉计算。
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图1 圆锥坐标系的建立与变换
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1 圆锥曲线的曲率特性
建立坐标系σ2[o2-x2y2z2]，以原点o2为锥顶、o2x2轴为锥轴作圆锥角为2α的圆锥面(见图1)，其方程为
将坐标系σ2绕o2y2轴顺时钟转动θ角，得到新坐标系σ1[o1-x1y1z1]，原点o1与o2重合，o1y1轴与o2y2轴重合。由σ1到σ2的坐标变换为
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x2=x1cosθ-z1sinθ |
| y2=y1 |
| z2=x1sinθ+z1cosθ | |
(2) |
将式(2)代入式(1)，得到圆锥面在σ1的方程为
| y12+(x1sinθ+z1cosθ)2=(x1cosθ-z1sinθ)2tan2α |
(3) |
平面P到锥顶距离为L、与锥轴夹角为θ，则P在σ1中的方程为
代入式(3)可得平面P 与圆锥面的截线方程为
| y12+(x1cosθ+Lcosθ)2=(x1cosθ-Lsinθ)2tan2α |
(5) |
通过运算可得
| (sin2θ-tan2αcos2θ)x12+Lx1sec2αsin2&otheta;+y12=(tan2αsin2θ- tan2αcos2θ)L2 |
(6) |
用配方法化简还可得到
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| + |
sec2αsinθcoθ |
L)2+y12= |
tan2α
| L2 |
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sin2θ-tan2αcos2θ | |
(7) |
设
作坐标平移
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x1=x+h |
| y1=y |
| z1=z+L | |
(9) |
代入式(7)化简，可得
| (sin2θ-tan2αcos2θ)x2+y2= |
L2tan2α |
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| sin2θ-tan2αcos2θ |
稍作变换可得
| x2
| - |
y2 |
=1 |
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| L2tan2α/cos4θ(tan2θ-tan2α)2 |
L2tan2α/cos2θ(tan2θ-tan2α) | |
(10) |
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图2 圆锥曲线的形成
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式中，x2项的分母总为正值，故圆锥曲线的形状取决于y2项的分母符号。如图2所示:①如θ<α，y2项的分母为负值，圆锥曲线为双曲线：②如θ=α，式(10)无意义，但在式(6)中令θ=α，可得y12=-2Lx1tanα，这正是抛物线方程：③如θ>α，y2项的分母为正值，圆锥曲线为椭圆。
给定椭圆x2/a2+y2/b2= 1(a>0，b>0，a≥b)或双曲线x2/a2-y2/b2=1，可知其X轴上顶点处的曲率半径均为
对于式(10)，可知
| a= |
Ltanα |
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| cos2θ|tan2θ-tan2α| |
代入式(11)化简得
对于抛物线y2=± 2px(p>0)，可知其顶点处的曲率半径为r=p，对照抛物线方程y12=-2Lx1tanα 可知，其顶点处的曲率半径亦为r=Ltanα。
通过以上分析可知:截平面P 与圆锥轴线的夹角θ影响圆锥曲线的类型，但并不影响圆锥曲线顶点处的曲率：截平面P到锥顶的距离L影响圆锥曲线顶点处的曲率，但不影响圆锥曲线的类型。即可得出以下定理:圆锥曲线顶点处的曲率半径等于截平面到锥顶距离与圆锥半角正切函数的积，而与截平面与锥轴的夹角无关。该定理的几何意义为:①中心位于圆锥顶点且半径r=c的任意球面的所有切平面与圆锥面的截线虽然为不同形状的圆锥曲线，但其顶点处的曲率半径均为常数，其值等于圆锥面上到锥顶距离为c的截圆半径：②轴线位于圆锥顶点且半径r=c的任意圆柱面的所有切平面与圆锥面的截线虽然为不同形状的圆锥曲线，但其顶点处的曲率半径均为常数，其值等于圆锥面上到锥顶距离为c的截圆半径。推论:圆锥曲线顶点处的曲率半径等于与截平面到锥顶等距的截圆半径。
2 圆锥曲线曲率特性在刀具刃磨的应用
圆锥面是机械零件常用的曲面。内圆锥面常用作复杂刀具(如插齿刀、圆孔拉刀等)的前刀面并作为重磨表面。磨削内圆锥面时，若砂轮半径大于砂轮端截面与所磨内圆锥面截线顶部的曲率半径，则会发生干涉。若直接使用一般平面曲线的曲率半径计算公式进行干涉验算，分析及计算工作量较大，难度较高。如应用上述圆锥曲线曲率特性进行干涉验算，则可省去分析过程，且计算过程较为简便。验算方法如下:
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图3 插齿刀前刀面刃磨原理
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图4 圆孔拉刀前刀面刃磨原理
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2.1 刃磨插齿刀前刀面的砂轮半径极限值的计算
如图3所示，插齿刀前刀面的圆锥半角为α=90°-γ(γ为插齿刀顶刃前角)。重磨插齿刀时常采用平形砂轮，砂轮轴线与插齿刀轴线的夹角为90°-γ。砂轮高速旋转进行磨削，插齿刀低速旋转完成进给，同时砂轮还沿自身轴线方向作往复运动，以磨削插齿刀整个前刀面并提高磨削表面质量。当砂轮往复运动到插齿刀根圆时最易发生干涉。因此可选择根圆进行刃磨干涉验算。
如图3，砂轮与插齿刀根圆rf接触处的端截面A-A到插齿刀前刀面所在圆锥面的锥顶O的距离为
L=rf/cosγ
接触处截线的曲率半径为
r=Ltanα=(rf/cosγ)tan(90°-γ)=(rf/cosγ)(cosγ/sinγ)=rf/sinγ
为了不发生干涉，所用砂轮半径R不能大于r，通常可取R≤0.85r。
2.2 刃磨圆孔拉刀的砂轮半径极限值的计算
为使圆孔拉刀重磨后的直径变化尽可能小，重磨圆孔拉刀时应刃磨其前刀面。由于圆孔拉刀一圈刀齿的内圆锥前刀面紧邻上一圈刀齿的后刀背，因此对所用砂轮的形状及安装角度均提出了较严格的要求。如图4所示，重磨拉刀所用砂轮为双斜边二号砂轮经修整而成，砂轮轴线与拉刀轴线成β角，并需注意让开上圈刀齿的后刀背。
设拉刀半径为r0，砂轮端截面A-A与拉刀外圆在点D处接触，设截平面A-A与拉刀轴线交于点F，过拉刀前刀面所在锥顶O作DF的垂线交DF于点E，OE即为截平面A-A到锥顶的距离L。因为
OD=BD/cosγ=r0/cosγ
L=OE=ODsin(β-γ)=r0sin(β-γ)/cosγ
接触处截线的曲率半径为
r=Ltanα=r0sin(β-γ)tan(90°-γ)/cosγ=[r0sin(β-γ)/cosγ](cosγ/sinγ)=r0sin(β-γ)/sinγ
为防止发生干涉，所用砂轮半径R不应大于r值。
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